引入

  核函数的功能是将一组数据映射到更高维的特征空间，这样可以让在低维无法线性分类的数据能够在高维空间下被分类。
  可以证明，如果原始数据是有限的维度，那么一定存在一个高维特征空间使得样本线性可分。

  文章内容由《机器学习》相关内容，网络资源，GPT回答和个人理解组成。

回顾

支持向量机（1）
  在特征空间内划分超平面的模型可以表示为：

$f(x)={\vec{w}}^T\vec{x}+b$

  假如我们将特征向量$x$以某种方式映射到了更高维的空间中，得到的新特征向量记作$\varphi (\vec{x})$。那新的模型可以表示为：

$f(x)={\vec{w}}^T\varphi (\vec{x})+b$

  于是我们可以改写支持向量机中的命题：

${\min }_{\vec{w},b}||\vec{w}||$
 
s.t. $y_i({\vec{w}}^T\varphi ({\vec{x}}_i)+b)\ge 1,i=1,2,...,m$

  其对偶命题为：

   $g(\vec{\alpha })={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j\varphi ({\vec{x}}_i{)}^T\varphi ({\vec{x}}_j)$
   
    ${\max }_{\vec{\alpha }}g(\vec{\alpha })$
 
$s.t.$  ${\alpha }_i\ge 0$,   $(i=1,...,m)$
 
   ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$

核函数应用

   由于\phi (\vec{x})的维度可能很高，甚至可能无穷维，上式中的$\varphi ({\vec{x}}_i{)}^T\varphi ({\vec{x}}_j)$可能并不好计算。于是我们设想这样一个函数（这被称为核技巧）：

$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=<\varphi ({\vec{x}}_i),\varphi ({\vec{x}}_j)>=\varphi ({\vec{x}}_i{)}^T\varphi ({\vec{x}}_j)$

   这个函数的意义是我们直接研究$\varphi ({\vec{x}}_i)$和$\varphi ({\vec{x}}_j)$的内积，而不直接计算两者的具体值。于是问题转化为了：

   $g(\vec{\alpha })={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)$
   
    ${\max }_{\vec{\alpha }}g(\vec{\alpha })$
 
$s.t.$  ${\alpha }_i\ge 0$,   $(i=1,...,m)$
 
   ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$

   对于不同的$\varphi (\cdot )$，显然对应着不同的$\kappa (\cdot ,\cdot )$，选定合适的$\varphi (\cdot )$后可以提前求出$\kappa (\cdot ,\cdot )$，就可以减少计算量。
   基于上述求解后得到：

$f(x)={\vec{w}}^T\varphi (\vec{x})+b$
    $={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i\varphi ({\vec{x}}_i{)}^T\varphi (\vec{x})+b$
    $={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i\kappa (\vec{x},{\vec{x}}_i)$
 
这里$\vec{x}$是测试数据点，$x_i$为每一个训练数据点

   上式显示出模型最优解可以通过训练样本的核函数展开，被称为支持向量展式。

寻找核函数

  接下来就是确定一个合适的核函数。合适的核函数是否一定存在呢？什么样的函数适合作核函数呢？我们有以下定理：

  对称性很好理解，而半正定性则有以下原因：

  概括以下就是保持原有问题的凸性不变，维持束缚条件，保证参数的合理性和收敛性。（个人理解）

  需要注意的是，在不知道特征映射的形式时，我们是无法知道什么样的核函数是合适的。如果核函数选择不当，将会成为影响模型性能的最大变数。

  常用的核函数有：

名称	表达式	参数	用途&补充
Linear Kernel（线性核函数）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)={\vec{x}}_i^T{\vec{x}}_j$		不进行任何映射，适用于线性可分的数据。
Polynomial Kernel（多项式核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=({\vec{x}}_i^T{\vec{x}}_j+c{)}^d$	$d\ge 1$为多项式的次数	用于捕捉数据的非线性关系。
Gaussian Kernel（高斯核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=exp(-\frac{\mid \mid {\vec{x}}_i-{\vec{x}}_j\mid {\mid }^2}{2{\sigma }^2})$	$\sigma >0$为高斯核的带宽	控制数据点的局部影响。非常强大的非线性核函数，常用于复杂的分类和回归任务。
Laplacian Kernel（拉普拉斯核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=exp(-\frac{\mid \mid {\vec{x}}_i-{\vec{x}}_j\mid \mid }{\sigma })$	$\sigma >0$	拉普拉斯核完全等价于指数核，唯一的区别在于前者对参数的敏感性降低，也是一种径向基核函数。
Exponential Kernel（指数核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=exp(-\frac{\mid \mid {\vec{x}}_i-{\vec{x}}_j\mid \mid }{2{\sigma }^2})$	$\sigma >0$	指数核函数就是高斯核函数的变种，它仅仅是将向量之间的L2距离调整为L1距离，这样改动会对参数的依赖性降低，但是适用范围相对狭窄。
Sigmoid Kernel（Sigmoid 核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=tanh(\beta {\vec{x}}_i^T{\vec{x}}_j+\theta )$	$\beta >0$，$\theta <0$	这个核函数试图模仿神经网络中的Sigmoid激活函数，但在某些情况下可能不会产生半正定核矩阵。
Laplace核	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=exp(-\gamma \mid \mid {\vec{x}}_i-{\vec{x}}_j\mid \mid )$		与高斯核类似，但使用Laplace分布而非高斯分布。
ANOVA Kernel(方差分析内核)	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)={\prod }_{t=1}^{n}exp(-\gamma (x_{i,t}-x_{j,t}{)}^2)$		主要用于分析方差（ANOVA）问题
Wave Kernel（波形核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=exp(-\frac{1}{2{\sigma }^2}si{n}^2(\frac{\pi }{L}\mid x_i-x_j\mid ))$	$\sigma >0$控制相似性衰减的速度，$L$
L 是周期长度	适用于语音处理场景
Log Kernel（对数核）	$\kappa ({\vec{x}}_i,{\vec{x}}_j)=log(1+\gamma \mid \mid {\vec{x}}_i-{\vec{x}}_j\mid {\mid }^2)$		一般在图像分割上经常被使用

  一般根据经验，文本数据通常用线性核，情况不明时可以采用高斯核。

  我们还可以通过变形与组合已有核函数的方式来创造新的核函数，如：

  （1）若${\kappa }_1$和${\kappa }_2$为核函数，则对任意正数${\gamma }_1,{\gamma }_2$，其线性组合也是核函数。

${\gamma }_1{\kappa }_1+{\gamma }_2{\kappa }_2$

  （2）若${\kappa }_1$和${\kappa }_2$为核函数，则核函数的直积也为核函数。

${\kappa }_1\otimes {\kappa }_2(\vec{x},\vec{z})={\kappa }_1(\vec{x},\vec{z}){\kappa }_2(\vec{x},\vec{z})$

  （3）若${\kappa }_1$为核函数，则对任意函数$g(\vec{x})$，如下定义的$\kappa$也是核函数。

$\kappa (\vec{x},\vec{z})=g(\vec{x}){\kappa }_1(\vec{x},\vec{z})g(\vec{z})$

总结

  核函数的使用使得机器学习算法能够在复杂的特征空间中进行操作，而无需显式地计算该空间中的特征值，从而避免了“维度灾难”。核方法允许算法在高维空间中工作，同时保留了数据的原始维度，这在处理大量数据和高维数据集时非常有用。

  在实际应用中，选择合适的核函数对于模型的性能至关重要，这通常取决于问题的特性以及数据的分布和结构。